Keplero VS Newton

Dobbiamo la colpa a Newton se durante i nostri corsi di studio dobbiamo sgobbare sulla fisica, a lui e al suo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687, quando propose al mondo i tre pincipi della fisica classica ed espresse la teoria della gravitazione.

No, non sono qui per riportare i principi, ma per raccontare come egli arrivò alla formulazione della forza gravitazionale dalle leggi di Keplero, di come unì il moto dei pianeti alla caduta della mela sulla testa... entrambi i fenomeni sono dati dalla stessa forza: la forza di gravità.

Se ci pensate un attimo non è immediato collegare i due fenomeni percché sono "distanti" concettualmente: uno riguarda il moto dei pianeti e l'altro la caduta dei gravi sulla terra.

Ditemi, a priori, un nesso tra loro?

Dobbiamo fare un passo indietro, Keplero visse un secolo prima di lui e propose un modello di moto ellittico dei pianeti intorno al Sole enunciando le leggi:

1. i pianeti descrivono orbite ellittiche intorno al Sole e il Sole è uno dei due fuochi. Perielio: massima distanza dal Sole, Afelio: minima dustanza dal Sole.
2. legge delle aree: le aree descritte dal raggio centrato sul Sole sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle. Ciò vuol dire anche che più il pianeta è vicino e più è veloce!
3. I quadrati dei tempi impiegati dai pianeti a dscrivere le proprie orbite è uguale al cubo del semiasse maggiore. In formule: dati due pianeti di semiassi maggiori a₁ e a₂ con i rispettivi tempi T₁ e T₂ si ha la proporzione scritta in fig.

Le ho riportate, anche se solo la terza legge ci servirà.

Newton sulla base del modello di keplero fece il seguente ragionamento intuitivo (e ricordiamoci che parliamo di un uomo vissuto 3 secoli fa!): immaginiamo di mettere un cannone sulla sommità della Terra ad una certa altezza e di sparare palle orizzontalmente, esse cadrebbero al suolo compiendo una parabola (a) per la stessa ragione per cui cade la mela; se aumentiamo sufficientemente la velocità della palla andrebbe a girare intorno alla Terra diventando un satellite(b); aumentando ancora la sua orbita diventerebbe ellittica (c). Con questo esempio fittizio collegò la caduta della mela al moto dei pianeti affermando che entrambi erano soggetti alla forza di gravità.

Come dedusse la Forza di Gravità? 

Utilizzò la terza legge di Keplero nell'approssimazione di orbite circolari a=R (che ha perfettamente senso! Lo sono quasi). Il pianeta di massa m gira intorno al sole per la forza centripa F_c=ma_c secondo un moto circolare di raggio R. L'accelerazione è legata alla velocità angolare secondo la formula a_c=ω²R, la velocità angolare è legata a sua volta al periodo orbitale T (un giro completo) ω=2π/T per cui si ottiene:

F_c= m*4π²R/T² espressione della forza centripa con cui ruota il pianeta m.

Dalla terza legge di Keplero sappiamo che il quadrato di T è proporzionale al cubo di R, cioè T²=kR³ con k una costante di proporzionalità. Andandiamo a sostituire nella forza:

F_c= m*4π²R/KR³=4π²/K*m/R²=c *m/R² con c nuova costante proporzionale.

Dalla terza legge di Newton (principio di azione-reazione), anche il Sole viene attratto dalla Terra con una certa forza (se pur misera e trascurabile, essendo il Sole immensamente più grande della Terra) proporzionale alla massa M del Sole: F=c' M/R². Quindi vi è una mutua iterazione tra loro. Mettendole insieme si ottiene:

F=cc' Mm/R² = G Mm/R² Con G=6.67 10^-11 Nm²/kg² costante universale.

Ora come colleghiamo il moto dei pianeti alla caduta della mela?

Cercando di fare vedere che la forza centripeta del moto dei pianeti è uguale alla forza di gravità.

Si prenda in considerazione sistema Terra-Luna, sulla Luna consideriamo un pezzettino di 1kg che chiameremo m. La Terra invece verrà indicata con M_{T .}

R = 384'000km distanza media Terra-Luna e T =27.3 giorni periodo della Luna.

La Luna gira, quindi moto circolare e forza cenrtipeta:

F= m* 4π²R/T² =0.00272 N

Ora calcoliamo la forza gravitazionale con cui la Terra attrae il pezzetto di luna:

F= G*mM_T/R² = 0.00272 N

Cioè la forza centripeta che governa il moto orbitale dei pianeti non è nient'altro che la forza gravitazionale espressa da Newton che fa cadere la mela a terra. Ecco qui la gravitazione universale!

OSS 1: in questa trattazione ho considerato la forza centripeta come fosse un tipo di forza. In realtà no. L'aggettivo "centripeto" sta a indicare che il tipo di forza considerato (ad esempio gravitazionale) produce sul corpo un moto circolare e tale forza è diretta verso il centro... centripeta appunto.

OSS 2: normalmente si indica con la FORMA della forza peso P=mg la forza gravitazionale della Terra con cui attrae i corpi di massa m. Tale FORMA deriva dal fatto che dato un corpo m, il quale ovviamente ha m << M_T , risente del campo gravitazionale della terra espresso come g=GM_T/R_T² (con R_T raggio della Terra) che nelle vicinanze della Terra è costante e pari a g=9.8m/s² accelerazione di gravità.

Riferimenti: è curioso come abbia trovato questo pezzo della storia della fisica in un libro di preparazione a un concorso: TFA-classi matematica fisica (Edizioni Simone).